30 Luglio 2020

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Calcolo combinatorio

Quanti ambi si formano con dieci numeri? Quanti ambi, terni, quaterne e cinquine esistono? Quant'è la probabiltà di vincere al Superenalotto giocando 2 colonne? Queste sono alcune delle domande che trovano risposta in questa tabella.
La consultazione è immediata in quanto è sufficiente cercare la riga corrispondente al valore della quantità di numeri ed incrociarla con la colonna relativa alla combinazione.
Ad esempio, se vogliamo conoscere quanti ambi, terni, quaterne, cinquine e sestine si possono formare con tutti i 90 numeri si deve leggere l'ultima riga trovando quindi che esistono:


  • 4.005 Ambi
  • 117.480 Terni
  • 2.555.190 Quaterne
  • 43.949.268 Cinquine
  • 622.614.630 Sestine

Rispondendo al quesito "quant'è la probabilità di vincere un sei al superenalotto giocando 2 colonne" la risposta è 2 su 622.614.630, ovvero circa 0.00000000003%.


Alcuni giocatori erroneamente deducono che la probabilità di uscita di un ambo al Lotto su una ruota sia quindi di 1 su 4005 non considerando che, ad ogni estrazione escono 5 numeri e quindi 10 ambi (vedi sempre la tabella...). La risposta corretta è, invece, 1 su 4005/10=400,5.


Da questo presupposto si può determinare lo svantaggio dell'equità di gioco in funzione di quanto sono pagate le vincite: sempre nel caso dell'ambo lo Stato paga 242,5 invece di 400,5 volte per essere considerato equo.


In percentuale lo svantaggio che il giocatore ha nei confronti dello Stato è di (1-242,5/400,5)*100=39,46% oppure, in altre parole possiamo affermare che lo Stato paga il 60,54% di quello che dovrebbe pagare affinché il gioco sia equo.


Questo 39,46% è la tassa che il giocatore deve pagare per giocare. Nel caso delle altre combinazioni superiori all'ambo, questa "tassa" aumenta sensibilmente fino a toccare il 98% circa se si mette in gioco una cinquina!


Alla base di questa tabella vi è la formula delle "combinazioni semplici" così definita:



n*(n-1)*(n-2)*..*(n-k+1)
__________________________
k!

Dove:
  • n è la quantità di numeri della serie
  • k è la quantità di numeri della combinazione

Per "k!" s'intende il fattoriale calcolato come: k!=k*(k-1)*(k-2)*..*1


Ad esempio il fattoriale di 5 è 5*4*3*2*1=120


Nel caso di una cinquina, le combinazioni che possiamo enumerare sono:


  • 5*4/2=10 Ambi
  • (5*4*3)/(3*2*1)=10 Terni
  • (5*4*3*2)/(4*3*2*1)=5 Quaterne
  • (5*4*3*2)/(5*4*3*2*1)=1 Cinquina

Non molti sanno che vi è un modo alternativo e "curioso" di calcolare il numero di combinazioni che compongono una serie sfruttando il triangolo di Tartaglia usato anche dai matematici per conoscere i coefficienti binomiali. Nel triangolo i numeri sono ricavati dalla somma dei due numeri adiacenti della riga superiore:


1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1

Analizzando la quinta riga scopriamo che una quartina è composta da:
  • 4 Estratti
  • 6 Ambi
  • 4 Terni
  • 1 Quaterna

I coefficienti binomiali, quindi il numero delle combinazioni per ogni serie determinano anche i fattori di guadagno normalmente utilizzati per calcolare la vincita


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